导通模式

  (1) ， 其中     (2)
 
在连续导通模式 (CCM) 中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此，当 ΔI_L 小于 I_IN 的2倍或 K_RF <2时，CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 K_RF > 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。
 

图1 – CCM 运行
  

纹波电流与 V_IN

众所周知，当输入电压为输出电压 (V_OUT) 的一半时，即占空比 (D) 为50％时 (图3)，在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC－DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于 D 的导数 (切线的斜率) 等于零，并对 D 求解。简单起见，假定转换器能效为100％。
 
根据    (3)、   (4) 和    (5),
 
并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡   (6),
 
则    (7).
 
将导数设置为零,      (8)

我们就能得出    (9).  
 

CCM 工作

为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L)，需要选择最高 K_RF 值，确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作，并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后计算得出最小电感值。K_RF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于 CCM 可以高达2.0。如前所述，当 D = 0.5 时，出现纹波电流 ΔI_L 最大值。那么，多少占空比的情况下会出现 K_RF 最大值呢？我们可以通过派生方法来求得。

假设 η = 100%， 则    (10),  
 
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
 
 (11)                          
 
  (12).  
 
对 D 求解，可得   (13).

D = 1 这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的 (对于升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当 D =⅓ 或 V_IN = ⅔V_OUT 时的纹波因数 K_RF 最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 L_MIN、L_CRIT 和 I_CRIT。
 

 
对于 CCM 工作，最小电感值 (L_MIN)应在最接近 ⅔ V_OUT 的实际工作输入电压 (V_IN(CCM)) 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，V_IN(CCM) 可能出现在最小 V_IN、最大 V_IN、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L，并根据 V_IN(CCM) 下的 K_RF 重新计算，可得出

  (14)，其中 V_IN(CCM) 为最接近⅔V_OUT 的实际工作 V_IN。  
   
对于临界电感与 V_IN 和 I_OUT 的变化，KRF = 2，可得出
 
  (15).
 
在给定 V_IN 和 L 值的条件下，当 K_RF = 2时，即出现临界负载 (I_CRIT)：
 
  (16)

DCM 工作

 
为计算所选最小空闲时间 (tidle_(min)) 的 L_MAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 t_ON(max) (所允许的 MOSFET 导通时间最大值) 与 V_IN 的函数，其中 t_dis 为电感放电时间。
 
  (17)，其中

    (18)
 
可得出
 
  (19).
 
平均 (直流) 电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列 (17)，可得出 t_dis 相对于 t_ON 的函数。简单起见，我们将再次假设 P_IN = P_OUT。
 
  (20) ，其中   (21).
 
将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V_IN (DCM) 下的 L
 
  (22).
 
L_MAX 遵循类似于 L_CRIT 的曲线，且同在 V_IN = ⅔V_OUT 时达到峰值。为确保最小 tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 (V_IN (DCM)) 下的最低 L_MAX 值。根据应用的实际输入电压范围，V_IN(DCM) 将等于最小或最大工作 V_IN。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ V_OUT（含⅔ V_OUT），则 V_IN(DCM) 是距 ⅔ V_OUT 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ V_OUT，则在最小和最大 V_IN 处计算电感，并选择较低 (最差情况下) 的电感值。或者，以图表方式对 V_IN 进行评估，以确定最差情况。

输入电压模式边界

 
要想以代数方式呈现 V_IN 的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：
 
  (23).
 
这可以重写为一个三次方程，K_CM 可通过常数计算得出
 
  (24)     其中

  (25).
 
这里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情况下，x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 V_MB。
 
我们知道
 
  (26)、  

     (27)、   以及

  (28),
 
     (29).
 
由于升压转换器的物理限制，任何 V_MB ≤ 0或V_MB > V_OUT 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 V_IN 的有效值。

模式边界 – 设计示例

我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器：
 
V_OUT  = 12 V
I_OUT  = 1 A
L  = 6 μH
F_SW  = 100 kHz
 
首先，通过 (25) 和 (28) 计算得出 K_CM 和 θ：
 

 
.
 
将 V_OUT 和计算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式边界处的 V_IN 值：
 
.
 
忽略伪解 (-3.36 V)，我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。
 

结论

电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。

参考文献

[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.

[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.